图子 LQR 的子空间分解：在谐振子超大规模网络中的应用

图子控制已在 [1]–[3] 中提出并发展，用于基于图子极限近似求解线性动力系统超大规模网络（VLSNs）的控制问题。本文针对一类图子线性二次调节（LQR）问题，给出了一种基于不变子空间分解的求解方法，其中局部动力学共享同质参数，但耦合智能体间的图子耦合可以是异质的。本文中的图子耦合出现在状态、控制与代价中，且这些耦合可由不同图子表示。通过探索耦合的一个公共不变子空间，原问题被分解为一个有限维网络耦合 LQR 问题和一个解耦的无限维 LQR 问题。建立了集中式最优解，以及一种节点协同最优控制解，其中每个智能体在本地计算其最优解的部分。这些解对有限网络 LQR 问题的应用可通过 (i) 图子控制方法 [3]，或 (ii) 将有限 LQR 问题表示为图子 LQR 问题的特例。这些解的复杂度涉及求解一个 nd×nd 维 Riccati 方程和一个 n×n 维 Riccati 方程，其中 n 为每个节点智能体状态的维数，d 为耦合算子的非平凡公共不变子空间的维数，而直接方法涉及求解一个 nN×nN 维 Riccati 方程，其中 N 为网络规模。对于图子耦合不存在精确低秩表示的情形，基于低秩近似发展了近似控制。最后，展示了一个应用于具有不确定性的大型网络上耦合谐振子调节的实例。