对称量子网络的子空间可控性与Clebsch-Gordan分解

我们描述了一种用于分析$n$个任意维度$d$的量子系统（即qudit）网络可控性的框架，其动力学由在置换群$S_n$下不变的哈密顿量决定。由于对称性，底层希尔伯特空间${\cal H}=(\mathbb{C}^d)^{\otimes n}$分裂为$u(d^n)$中$S_n$不变元素的李代数的不变子空间，此处记为$u^{S_n}(d^n)$。决定系统可控性性质的动力学李代数${\cal L}$是该李代数$u^{S_n}(d^n)$的李子代数。若${\cal L}$在每个不变子空间$V$上作用为$su\left( \dim(V) \right)$，则称系统为{\it 子空间可控}。我们的方法基于认识到希尔伯特空间${\cal H}$的此种分裂与$(\mathbb{C}^d)^{\otimes n}$关于$su(d)$的{\it 不可约表示}的{\it Clebsch-Gordan}分裂一致。在此视角下，$u^{S_n}(d^n)$是某些$su(n_j)$（对我们将指定的某些$n_j$）与其{\it 中心}（由{\it 卡西米尔算子}生成的阿贝尔（李）代数）的直和。推广文献先前考虑的情形，我们考虑具有任意局域同步控制与对称两体相互作用的动力学。所呈现的大部分结果针对一般$n$和$d$，但我们将先前关于$n$量子比特的结果重述于此新一般框架，并对新情形$n=3$、$d=3$（即{\it 三个qutrit}）给出子空间可控性的完整处理与证明。