$\mathrm{Sl}\left(n,\mathbb{H}\right)$ 上不变控制系统的半群与能控性

设 $\mathrm{Sl}\left( n,\mathbb{H}\right)$ 为行列式模 $\left\vert \det g\right\vert =1$ 的 $n\times n$ 四元数矩阵 $g$ 所成的李群。我们证明：若子半群 $S \subset \mathrm{Sl}\left( n,\mathbb{H}\right)$ 具有非空内部，且包含同构于 $\mathrm{Sl}\left( 2,\mathbb{H}\right)$ 的子群，则 $S$ 等于 $\mathrm{Sl}\left( n,\mathbb{H}\right)$。作为应用，我们给出 $A,B\in \mathfrak{sl}\left( n,\mathbb{H}\right)$ 上确保不变控制系统 $\dot{g}=Ag+uBg$ 在 $\mathrm{Sl}\left( n,\mathbb{H}\right)$ 上能控的充分条件。我们还证明这些条件在如下意义下是通有的：我们得到了可控制对 $\left( A,B\right)\in\mathfrak{sl}\left( n,\mathbb{H}\right)^{2}$ 的一个开且稠密的集合。