由调和多项式零点集良好逼近的集合的结构

调和多项式的零点集在调和测度的自由边界正则性问题的研究中起着关键作用。为了理解这些自由边界的精细结构，需要对这些零点集的奇点进行详细研究。本文研究“k次点”如何位于$\mathbb R^n$中$d$次调和多项式的零点集内（对所有$n\geq 2$且$1\leq k\leq d$），以及位于那些允许由调和多项式零点集进行任意好局部逼近的集合内。我们对后一种类型的集合获得了一个一般结构定理，包括对“k次点”($k\geq 2$)奇点集的精确豪斯多夫和闵可夫斯基维数估计，而无需证明爆破的唯一性或借助诸如单调性公式等PDE方法。此外，我们表明在存在某种拓扑分离条件时，精确维数估计会改进并依赖于$k$的奇偶性。给出了一个应用于Kenig和Toro引入的连续阈值以下的调和测度两相自由边界正则性问题。