光滑超曲面的次数是多少？

设D是R^n中的圆盘，f∈C^{r+2}(D, R^k)。我们处理集合j^r f^{-1}(W)的代数逼近问题，该集合由圆盘D中f的r-阶射流延拓与给定半代数集W⊂J^r(D, R^k)相交的点组成。以这种方式产生的集合的例子包括f的零点集或其临界点集。在某些横截性条件下，我们证明f可以用多项式映射p:D→R^k逼近，使得相应的奇点与原始奇点微分同胚，并且该多项式映射的次数可以由f的C^{r+2}数据控制。更精确地，deg(p) ≤ O(||f||_{C^{r+2}} / dist_{C^{r+1}}(f, Δ_W))，其中Δ_W是r-阶射流延拓不与W横截的映射集。对p次数的估计蕴含对奇点Betti数的估计，然而，使用更精细的工具，我们独立地证明了一个类似的估计，但仅涉及f的C^{r+1}数据。这些结果特化为f∈C^2(D, R)的零点集的情况，并提供了一种用代数超曲面逼近由方程f=0定义的光滑超曲面的方法，且次数可控（由此得名）。特别地，我们证明具有正到达距离ρ(Z)>0的紧致超曲面Z⊂D⊂R^n与D中多项式p的零点集同痕，其次数为deg(p) ≤ c(D)·2(1+1/ρ(Z)+5n/ρ(Z)^2)，其中c(D)>0是依赖于圆盘D大小的常数（特别地，依赖于Z的直径）。