具有 Hölder 数据的调和测度两相问题中奇异集的正则性

在调和测度的非变分两相自由边界问题中，我们考察域 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 的内部与外部调和测度之间的关系如何影响其边界的几何。此类自由边界问题最初由 Kenig 和 Toro 于 2006 年研究，并在若干作者的系列独立与联合工作中得到进一步考察。本文关注自由边界中的奇异集，其中边界在无穷小部分看起来至少 2 次齐次调和多项式的零集。我们证明，如果外部调和测度关于内部调和测度的 Radon-Nikodym 导数具有 Hölder 连续对数，则自由边界在每个奇异点处容许唯一几何爆破，且奇异集可被可数个维数至多为 $n-3$ 的 $C^{1,\beta}$ 子流形覆盖。该结果部分通过将 Garofalo 和 Petrosyan 的 Weiss 型单调性公式以及调和函数的 epiperimetric 不等式等工具从变分情形改造至非变分情形而获得。