Ehrhard对称化使周长不增的测度结构

本文证明了在各维数 $n \geq 2$ 下，在 $L^1(\mathbb{R}^n) \cap W^{1,1}_{loc}(\mathbb{R}^n)$ 中的非负权函数类中，各向同性高斯函数由加权周长的重排不等式所\textit{刻画}。更具体地，我们证明在此类中，广义Ehrhard对称化对所有方向上的所有可测集周长不增，当且仅当其分布函数为各向同性高斯函数。$L^1(\mathbb{R}^n) \cap W^{1,1}_{loc}(\mathbb{R}^n)$ 中的非负权函数类是可对分布周长提出此问题的最广泛类。本文的主要挑战之一是在不施加任何附加结构的情况下处理这些权函数。主要地，我们通过一种新颖的逼近论证建立了广义Ehrhard对称化保持 $\mu$-可测性。此外，我们的关于加权周长的重排不等式蕴含半空间为等周集的证明，在广义Ehrhard对称化的语境中是新的。而且，我们所用的一类变分论证（先前出现于[Rosales, 2014]与[Brock-Chiacchio-Mercaldo, 2008]）是在最小正则性下完成的。最后，我们建立了带非负 $L^1(\mathbb{R}^n) \cap W^{1,1}_{loc}(\mathbb{R}^n)$-权函数的加权BV函数的一些基本而有用的结果，这些结果可能具有独立意义。