自仿射集上平衡态的结构与仿射维数的严格单调性
动力系统
2018-05-22 v2
摘要
自仿射集维数理论中的一个基本问题是构造高维测度，以给出该集合豪斯多夫维数的精确下界。构造此类高维测度的一个自然策略是研究最大李雅普诺夫维数测度；这些测度也可被解释为Falconer引入的奇异值函数的平衡态。尽管这些平衡态的存在性多年来已为人所知，但其结构一直难以捉摸，尤其在大于二维的维度中。在本文中，我们给出了三维情形下奇异值函数平衡态的完整描述，特别证明了所有此类平衡态必为完全支撑的。在更高维度中，我们还给出了这些平衡态唯一性的一个新的充分条件。作为一个推论，解决了三维中的一个民间开放问题，我们证明了对于中典型的自仿射集，移除定义该集的一个仿射映射会导致豪斯多夫维数的严格减小。
引用
@article{arxiv.1609.07360,
title = {Structure of equilibrium states on self-affine sets and strict monotonicity of affinity dimension},
author = {Antti Käenmäki and Ian D. Morris},
journal= {arXiv preprint arXiv:1609.07360},
year = {2018}
}