一维度量流的结构性质：SBV表示、连通性与平坦链猜想

本文对一维度量流及其与度量空间几何关系的研究进行了系统综述。我们在此一般设置下解决了一维平坦链猜想，通过证明其有效性等价于一个简单的几何连通性质。更准确地说，我们证明了度量流可被正常流在质量范数下逼近，当且仅当每个$1$-可测集可在$\mathscr{H}^1$-零测集上由 countably many Lipschitz 曲线覆盖。基于此，我们展示了任意$1$-流在巴拿赫空间中可被一个可测流完成为一个边界，其附加质量由其边界的康托尔瓦尔-鲁比辛斯范数控制。我们进一步细化了逼近结果，表明这些流可被多边形流在边界上逼近。最后，在任意完整度量空间中，我们建立了一个Smirnov型分解，用于一维度量流。该分解将此类流表示为在质量取消的情况下，由具有vanishing Cantor部分的有界变差曲线关联的流的叠加。