标准环面 Fano 三维簇的字符串 $E$-函数及其应用

设 $\Delta$ 为一个恰含一个内部格点的 $3$ 维格 polytope。我们给出一个简单的组合公式，用于计算与 polytope $\Delta$ 相关的 $3$ 维标准环面 Fano 簇 $X_{\Delta}$ 的字符串 $E$-函数。利用字符串 Libgober-Wood 恒等式及我们的公式，我们推广了在 $3$ 维自反 polytope $\Delta$ 情形下成立的著名组合恒等式 $\sum_{\theta \preceq \Delta \atop \dim (\theta) =1} v(\theta) \cdot v(\theta^*) = 24$。