弦方程——2. 物理解

本文是 S.P.Novikov 发表于 Funct.Anal.Appl., v.24(1990), No 4, pp 196-206 的论文的延续。弦方程按定义为两个线性常微分算子 $L$ 和 $A$ 的系数所满足的方程 $[L,A]=1$。对于矩阵模型的“双标度极限”,我们总有 $L=-\partial_x^2+u(x)$,$A$ 是某个奇数阶 $2k+1$ 的微分算子。在第一个非平凡情形 $k=1$ 下,我们得到 Painelevé-1 (P-1) 方程。只有 P-1 的特殊实“分流”解在量子场论中才是重要的。据 Novikov 猜想,这些“物理”解在解析上是例外的,可能具有比其他解强得多的对称性,但至今尚未被证明。前文发展了两种渐近方法——非线性半经典(或称 Bogolubov-Whitham 平均方法)以及用于“等单值”方法的线性半经典。非线性半经典对 P-1 的一般(“非物理”)解给出了良好近似,但在“物理”情形下失效。本文研究了 P-1 方程“物理”解的线性半经典,特别地建立了 Riemann 曲面上的半经典与这些曲面上的哈密顿叶状结构之间的联系。