$\mathbb{Z}^d$ 上随机簇模型 Kert\'{e}sz 线的严格单调性、连续性与边界

伊辛模型和波茨模型可利用 Edwards-Sokal 耦合通过 Fortuin-Kasteleyn 表示来研究。这适用于模型暴露于强度为 $h>0$ 的外场的情形。在该也表示（也称为随机簇模型）中，Kert\'{e}sz 线根据 $\mathbb{Z}^d$ 中是否存在无穷簇将参数空间划分为两个区域。这标志着即便在热力学相变不发生的情况下，有序相与无序相之间的几何相变。在本文中，我们证明了 Kert\'{e}sz 线的严格单调性与连续性。此外，我们给出了在极限 $h \to 0$ 下渐近正确的新的严格边界，补充了 Ruiz 和 Wouts [J. Math. Phys. 49, 053303 (2008)] 的工作中的边界，那些边界在 $h \to \infty$ 时渐近正确。最后，利用簇展开，我们研究了 Kert\'{e}sz 线相变的连续性。