具有不连续性的 $\mathscr{C}^{1+\alpha}$ 斜积的拉伸指数混合

考虑斜积 $F:\mathbb{T}^2 \to \mathbb{T}^2$，$F(x,y)= (f(x),y+\tau(x))$，其中 $f:\mathbb{T}^1\to \mathbb{T}^1$ 是可数划分上的分段 $\mathscr{C}^{1+\alpha}$ 扩张映射，$\tau:\mathbb{T}^1 \to \mathbb{R}$ 是分段 $\mathscr{C}^1$ 函数。研究表明，如果 $\tau$ 在 $\tau$ 和 $f$ 的联合划分上不与分段常数函数 Lipschitz-上同调，则 $F$ 以拉伸指数速率混合。