具有实参数的Rabi问题的Stokes图

本文旨在研究与Isidor Rabi于1937年引入以模拟原子对频率接近其固有频率的谐波电场反应的问题相关的Stokes图的几何结构。在标准Garnier形式下，Rabi模型是一个具有三个物理参数的矩阵线性微分方程，这三个参数为：费米子模式的分离能级 $\Delta$、玻色子-费米子耦合 $g$ 以及与该模型相关的哈密顿量的本征值 $E$。此类问题解的定性行为通常用相关二次微分的Stokes图来描述，在Rabi问题中，该二次微分可表示为 $Q_0(z)\, dz^2 = -\frac{z^4+c_3z^3+c_2z^2+c_1z+c_0}{(z-1)^2(z+1)^2}\, dz^2$，其中系数 $c_k$ ($k=0,1,2,3$) 依赖于参数 $\Delta$、$g$ 和 $E$。本文首先假设该二次微分的系数 $c_k$ 为实数且其分子的零点与其极点互异，给出了其可能的通用拓扑类型（即域构型和Stokes图）的完整分类。然后，我们确定了对应于物理参数 $\Delta$、$g$ 和 $E$ 特定选择的系数集合 $(c_3,c_2,c_1,c_0)\in \mathbb{R}^4$。此外，还将讨论当Rabi问题的参数趋于无穷大时，作为渐近情况出现的二次微分的Stokes图和域构型的结构。