针对随机与多变量滤波器的 Mapper 统计分析

Reeb 空间，以及其称为 Mapper 的离散版本，是拓扑数据分析中常用的描述子，在诸如计算生物学和数据可视化等众多科学领域中有大量应用。近年来许多工作 [BBMW19, CO17, CMO18, MW16] 研究并量化了 Mapper 到 Reeb 空间的稳定性与收敛速率，聚焦于使用标量值滤波器计算 Mapper 的情形。另一方面，在多变量情形（当滤波器的余定义域为 $\mathbb{R}^p$）以及一般情形（当其为一般度量空间 $(Z, d_Z)$ 而非 $\mathbb{R}$）下，所知甚少。该设定下可用的少数结果 [DMW17, MW16] 只能处理连续拓扑空间，不能直接用于代表数据的有限度量空间，如点云和距离矩阵。在本文中，我们引入了对通常 Mapper 构造的轻微修改，并给出使用该估计子估计 Reeb 空间的风险界。我们的方法尤其适用于计算 Mapper 所用的滤波器函数也由数据估计的情形，例如 PCA 的特征函数。我们的结果是相对于 Gromov-Hausdorff 距离给出的，该距离使用 [DMW17] 中定义的基于滤波器的 Mapper 与 Reeb 空间的伪度量计算。我们最后给出了该设定在统计与机器学习中针对不同类目标滤波器的应用，以及证明我们方法相关性的数值实验。