Atlas Model 的平稳分布

在本文中，我们研究了 Atlas 模型，该模型由 $\mathbb{R}$ 上的布朗粒子组成，除 Atlas（即排名最低的）粒子 $X_{(1)}(t)$ 受到漂移 $\gamma dt$（$\gamma\in\mathbb{R}$）外，其余粒子相互独立。对于任意固定的形状参数 $a>2\gamma_-$，我们证明，在平移 $\frac{a}{2}t$ 之后，整个粒子系统具有一个不变分布 $\nu_a$，其以关于密度为 $a e^{a\xi} d\xi$ 的泊松点过程的显式 Radon-Nikodym 导数表示。我们进一步证明 $\nu_a$ 确实具有 Sarantsev 和 Tsai (2016) 导出的指数乘积间隙分布 $\pi_a$。作为一个简单应用，我们建立了 Atlas 粒子 $X_{(1)}(t)$ 的波动在 $t$ 上一致的界，其中间隙由 $\pi_a$ 初始化且 $X_{(1)}(0)=0$。