图上量子XY与海森堡系统的静力学与动力学

我们考虑具有 N 个顶点的任意图 G 上可区分自旋-1/2 系统的静力学与动力学。特别地，我们考虑根据以下两种哈密顿量之一演化的量子自旋系统：(i) XY 哈密顿量 H_XY，其对 G 中由边相连的每个自旋对包含 XY 相互作用；以及 (ii) 海森堡哈密顿量 H_Heis，其对 G 中由边相连的每个自旋对包含海森堡相互作用项。我们发现 XY（相应地，海森堡）哈密顿量在状态空间上的作用等价于由 G 导出的图序列 G_k（k=0,...,N，且 G_1=G）的邻接矩阵（相应地，组合拉普拉斯矩阵）的作用。这种作用等价性表明这两种模型的动力学与自由粒子在图 G_k 上跳跃的演化相同。因此我们展示了如何用更复杂几何上更简单的动力学来替代原始自旋模型的复杂动力学。我们方法的一个简单推论使我们能够写出由 N 个顶点组成的路径上磁场中 XY 模型的显式谱分解。我们还利用我们的方法借助谱图论的结果求解了新的自旋模型：完全图上磁场中的 XY 模型与海森堡模型。