Locale 性质在群作用下的稳定性

给定一组旨在刻画 locale 范畴性质的范畴公理，我们证明：若范畴 $\mathcal{C}$ 满足这些公理，则对于任意内部群 $G$，其 $G$-对象范畴 $[ G, \mathcal{C}]$ 亦满足这些公理。为此，我们证明了一个一般的范畴结论：若对象 $S$ 在一个具有有限积的范畴中是双可指数化的，则其关联的平凡 $G$-对象 $(S, \pi_2: G \times S \rightarrow S)$ 亦是双可指数化的。即使 $S$ 不可指数化，该结论依然成立。文中给出了一个满足上述公理的范畴 $\mathcal{C}$ 的例子，但不存在初等 topos $\mathcal{E}$ 使得 $\mathcal{C}$ 是 $\mathcal{E}$ 上的 locale 范畴。此外，文中概述了如何将这些结果从群推广到广群。