一维标量守恒律色散边界层的稳定性

我们研究了半直线上，具有在 $x=0$ 处赋值的狄利克雷边界条件的一类Korteweg--de Vries (KdV)型初边值问题的零色散极限。我们关注流出区域，在该区域中，极限标量守恒律的解并未达到施加于色散问题的边界条件。我们构造了一个依赖于快变量的边界层剖面，该剖面通过相关的稳态三阶边界层方程，由边界条件之间的不匹配以及在快变量中无穷远处的指数衰减唯一确定。我们的主要结果表明，在数据满足适当的正则性和相容性假设下，色散解可以被一个WKB展开很好地近似，该展开由守恒律的光滑解和边界层剖面之和给出。特别地，我们通过证明加权能量范数中余项的量级估计，建立了边界层剖面的稳定性，并证明它在 $H^1$ 中收敛于 $0$，在时间上一致且直至守恒律光滑解的生命周期。该证明基于线性化能量泛函的分析，不依赖于完全可积性或逆散射技术。它适用于一般的通量，并且不需要对边界层振幅的小量假设。据我们所知，这是关于半直线上KdV型方程边界层稳定性的首个结果。