小色散极限下 Korteweg de Vries 与 Whitham 方程的数值解

具有阶为 $\epsilon^2$ 的小色散的 Korteweg de Vries (KdV) 方程的柯西问题，其特征为出现波长为阶 $\epsilon$ 的快速调制振荡区。这些振荡由 KdV 的椭圆解近似描述，其中振幅、波数与频率并非常数，而是根据 Whitham 方程演化。在本稿中，我们对 KdV 方程小色散极限的数值解与相应近似解之间的偏差给出定量分析，其中 $\epsilon$ 取值介于 $10^{-1}$ 与 $10^{-3}$ 之间。数值结果与如下估计相符：在 Whitham 振荡区“内部”偏差为阶 $\epsilon$，在 Whitham 区外左边界处为阶 $\epsilon^{1/3}$，在 Whitham 区外右边界处为阶 $\epsilon^{1/2}$。