实克利福德代数中 -1 的平方根

众所周知，克利福德（几何）代数以平方为 -1 的 blade 形式为 -1 的平方根提供了几何解释。这扩展到了将四元数解释为单位立方体侧面的双向量。已有系统性研究 [32] 探讨了双四元数中 -1 的根，放弃了对 blade 的限制。双四元数同构于 $\mathbb{R}^3$ 的克利福德（几何）代数 $Cl(3,0)$。关于一般代数 $Cl(p,q)$ 的进一步研究已明确推导出了 $p+q \leq 4$ 时 -1 的几何根 [17]。当前研究放弃了这一维度限制，并利用克利福德代数与矩阵代数的同构，根据相关环的类型（$\mathbb{R}$、$\mathbb{H}$、$\mathbb{R}^2$、$\mathbb{H}^2$ 或 $\mathbb{C}$），代数地表征了在不同类型克利福德代数中发现的 -1 平方根的连续流形。文末给出了所有满足 $n=5,7$ 且 $s=3 \, (mod 4)$ 并关联环 $\mathbb{C}$ 的克利福德代数中具有代表性的 -1 平方根的显式计算机生成表。其中包括在克利福德分析中重要的 $Cl(0,5)$，以及在应用中作为共形几何代数基础的 $Cl(4,1)$。所有这些 -1 的根可直接用于构建新型几何克利福德傅里叶变换。