无爪状图的扩散问题

设 $p \in \mathbb{N}$ 且 $q \in \mathbb{N} \cup \{ \infty \}$。我们研究一种从初始蓝色顶点子集 $S$ 开始的图 $G$ 顶点动态着色问题，其余所有顶点均为白色。如果白色顶点~$v$ 的至少 $p$ 个蓝色邻居，并且这些蓝色邻居中至少一个邻居的白色邻居数最多为~$q$，则依据扩散着色规则，顶点~$v$ 将被重新涂为蓝色。如果通过反复应用扩散着色规则，最终所有顶点都被涂为蓝色，则初始的蓝色顶点集合 $S$ 为 $G$ 的 $(p,q)$-扩散集。$(p,q)$-扩散集是众所周知的 $k$-强制集和 $r$-渗透集概念的推广。对于 $q \ge 2$，$(1,q)$-扩散集恰为 $q$-强制集；$(1,1)$-扩散集为 $1$-强制集（也称为零强制集），而对于 $q = \infty$，$(p,\infty)$-扩散集恰为 $p$-渗透集。$G$ 的 $(p,q)$-扩散数，记作 $\sigma_{(p,q)}(G)$，是指所有 $(p,q)$-扩散集中最小集合的基数。在本文中，我们研究无爪状三分图的 $(p,q)$-扩散。虽然无爪状三分图的零强制数已有研究，但对于 $p$ 和 $q$ 均不为 $1$ 的情况，我们或确定无爪状三分图 $G$ 的 $(p,q)$-扩散数，或表明 $\sigma_{(p,q)}(G)$ 取其中两种可能值之一。