四维四元数正交群 $\operatorname{SO}^*(2n)$ 的稀有等同性

在小维数的 Lie 代数中，存在许多称为“偶然同构”的同构关系，这些同构关系导致了特殊正交群的双重覆盖——Spin 群——而这些 Spin 群恰好与另一分类体系下的群相同。人们熟知的由 P. Garrett 教授整理的这些稀有等同性目录，记录了这些事实，涵盖复正交群 $\operatorname{SO}(n, \mathbb{C})$ 以及显露实数的形式 $\operatorname{SO}(p,q)$，但回避了四元数实形式 $\operatorname{SO}^*(2n)$。本文旨在补充和完善现有目录，收集前四个四元数正交群的稀有等同性，附当代证明。本文还采用现代符号系统复述 $\operatorname{SO}^*(2n)$ 的定义，强调“四元数逆转”作为一种有用（尽管冗余）的第二共轭作用，帮助阐明四元数表示的自共轭性。最后，我们以类似之前作者工作的方式探讨 $\operatorname{SO}^*(8)$ 的三重性。