P定向空间的旋量结构、Kustaanheimo-Stiefel丛与Hopf丛——形式体系之间的联系

本文研究了Hopf丛、Kustaanheimo-Stiefel丛以及具有旋量结构的三维空间这三种技术之间的若干关系。旋量空间被视为一个实空间，它相对于普通的矢量三维空间进行了最小程度的扩展（即维度加倍）：在此空间中，几何空间中的恒等变换不再是$2\pi$旋转，而仅为$4\pi$旋转。对于初始未扩展流形给定的P定向（矢量或赝矢量定向），可以分别构造出两种不同的空间旋量$\xi$和$\eta$。根据定义，这些旋量提供了扩展空间模型中的点，每个旋量与矢量空间中的点之间存在$2 \longrightarrow 1$的对应关系。对于这两种模型，给出了旋量$\xi$和$\eta$用球坐标和抛物坐标表示的显式参数化，其中抛物坐标系被证明是简单定义空间旋量的最便捷方式。Kustaanheimo-Stiefel的四组实值坐标$U_{a}$和$V_{a}$（分别为复旋量$\xi$和$\eta$的实部和虚部）满足两个二次约束。因此，在这两种情况下，都存在一个从三维球面$S_{3}$的一部分到整个二维球面$S_{2}$的Hopf映射。找到了两个空间旋量之间的关系：$\eta = (\xi - i\sigma ^{2}\xi ^{*})/\sqrt{2}$；用Kustaanheimo-Stiefel变量$U_{a}$和$V_{a}$表示时，这是一个来自SO(4.R)的线性变换，该变换不属于由旋量上的SU(2)旋转生成的子群。