基于 Hodge Laplacian 的单纯形社区谱检测

尽管图是丰富信息的来源，但其仅限于成对交互。然而，若干真实世界网络（如社交网络、神经元网络等）涉及多于两个节点间的交互。单纯形复形为刻画此类高阶交互提供了强有力的数学框架。众所周知，图 Laplacian 的谱能够指示社区结构，且这一关系被谱聚类算法所利用。本文提出，定义于单纯形复形上的高阶 Laplacian——Hodge Laplacian 的谱——编码了单纯形社区。我们构造了一种提取（任意维度的）单纯形社区的算法。将该算法应用于单纯形复形基准以及真实高阶网络数据，包括社交网络与利用语言或文本处理工具提取的网络。然而，单纯形复形数据集稀缺，且对于可能涉及高阶交互的绝大多数数据集，仅能获得其成对交互集合。因此，我们利用数据的已知性质推断最可能的高阶交互。换言之，我们引入一种推断方法，在给定网络骨架社区结构的前提下预测最可能的单纯形复形。该方法将诱导出单纯形社区、且相对于真实社区结构所测调整互信息最大的高阶交互识别为最可能者。最后，我们考虑通过对协作网络（仅编码成对交互）边权进行阈值化构建的高阶网络，并给出一个在宽泛阈值范围内持续存在的持久单纯形社区实例。