高阶多层网络的拓扑与谱互连性

多层网络作为一种强大的数学抽象，已渗透到所有科学领域中，用于描述多模态脑连接组、交通、生态系统和科学合作等相互依赖的异构复杂系统。但仅通过图论形式来描述此类系统，预设了定义底层基础设施并支撑其功能的交互仅基于成对关系；这一强假设可能导致过度简化。事实上，大多数相互依赖的系统本质上涉及高阶层内与层间交互。例如，生态系统包含物种内部及物种之间的群体交互，合作与引用将共同作者团队与文章相互关联，不同社交网络中朋友群体之间也可能存在交互等。尽管单体系统的高阶交互已通过单纯复形与超图的语言得到研究，但将其纳入多层系统领域的广泛而系统的形式化框架仍然缺失。在此，我们引入交叉单纯复形（crossimplicial multicomplex）的概念，作为建模涉及高阶层内与层间连接的相互依赖系统的通用形式化框架。随后，我们引入交叉同调（cross-homology）及其谱对应物——交叉拉普拉斯算子（cross-Laplacian operators），以建立严格的数学框架，用于量化此类系统中的全局与局部层内及层间拓扑结构。当应用于多层网络时，这些交叉拉普拉斯算子提供了强大的方法，用于检测受另一层中枢控制的某一层中的簇。我们称此类中枢为谱交叉中枢（spectral cross-hubs），并定义谱持续性（spectral persistence）作为一种依据其在交叉拉普拉斯谱上的涌现对其进行排序的方式。