平衡 Hodge 拉普拉斯算子优化单纯复形上的共识动力学

尽管关于网络动力学的文献浩如烟海，我们仍缺乏对高阶结构（例如边、三角形，更一般地，$k$ 维“单纯形”）上动力学的基认识，以及它们如何受高阶交互影响。一个典型例子在神经科学中：神经元群体（而非单个神经元）可能构成神经计算的基本单元。在此，我们利用一种称为 Hodge 拉普拉斯算子的矩阵类型研究单纯复形中边上的共识动力学，并将其推广以允许高阶与低阶交互具有不同强度。借助代数拓扑技术，我们研究集体动力学如何收敛到对应于单纯复形同调空间的低维子空间。我们利用 Hodge 分解表明，高阶与低阶交互可被最优平衡以最大化加速收敛，且该最优值恰与旋度子空间和梯度子空间上动力学的平衡相吻合。我们还探究了网络拓扑的影响，发现当 2-单纯形分散分布而非聚簇时，边上的共识得以加速。