几何、拓扑与单纯复形同步

单纯复形同步揭示了拓扑和几何在决定单纯复形动力学性质中的作用。单纯复形网络几何与拓扑自然地编码于图 Laplacian 及单纯复形高阶 Laplacian 的谱性质中。本文展示了单纯复形的几何如何诱导出单纯复形 Laplacian 的谱维度，这些维度负责改变 Kuramoto 模型的相图。特别地，展现非平凡单纯复形网络几何的单纯复形，若其谱维度小于或等于四，则在无限网络极限下无法维持同步态。该理论结果在此处通过展现涌现双曲几何的 Network Geometry with Flavor 单纯复形生成模型得到验证。另一方面，单纯拓扑被证明决定了高阶 Kuramoto 模型的动力学性质。高阶 Kuramoto 模型描述拓扑信号的同步，即不仅关联于单纯复形节点的相位，也关联于包括链接、三角形等在内的高阶单形的相位。当不同维度的拓扑信号和/或其螺线管型与无旋型投影以自适应方式耦合时，该模型展现出不连续的同步相变。