随机二部图的谱与局域化性质

二部图常用来表示诸多系统（如生态系统）组分间的连通性。二部图是 $n$ 个节点的集合，可分解为两个不相交子集，分别含 $m$ 与 $n-m$ 个顶点，使得同一集合内无相邻顶点。两集合间的连通性（就连接而言的相关量）可由参数 $\alpha\in[0,1]$ 量化，其等于存在的相邻对数与可能相邻对总数之比。此处，我们研究此类随机二部图的谱与局域化性质。具体而言，在随机矩阵理论（RMT）框架下，我们确定一个标度参数 $\xi\equiv\xi(n,m,\alpha)$，它固定了随机二部图邻接矩阵特征向量的局域化性质。我们还表明，当 $\xi<1/10$（$\xi>10$）时特征向量局域化（扩展），而局域化—退局域化转变发生于区间 $1/10<\xi<10$。最后，鉴于我们发现的潜在应用，我们通过证明对于固定 $\xi$，我们图模型的谱性质亦具普适性来收尾本研究。