多维自相似马尔可夫过程的谱分析

本文考虑一个尺度为$l>1$的离散尺度不变(DSI)过程$\{X(t), t\in {\bf R^+}\}$。我们假设在每个尺度上有固定数量的观测值，记为$T$，并在离散点$\alpha^k, k\in {\bf W}$上获取样本，其中$\alpha$由等式$l=\alpha^T$确定，${\bf W}=\{0, 1,...\}$。因此，我们得到了一个参数空间为$\{\alpha^k, k\in {\bf W}\}$的离散时间尺度不变(DT-SI)过程$X(\cdot)$。我们找到了此类DT-SI过程协方差函数的谱表示。通过给出多维自相似过程的类调和表示，我们给出了它们的谱密度函数。我们假设过程$\{X(t), t\in {\bf R^+}\}$也是宽意义下的马尔可夫过程，并利用上述采样方案给出了一个离散时间尺度不变马尔可夫(DT-SIM)过程。我们通过上述采样方案给出了一个DT-SIM过程的例子——简单布朗运动，并验证了我们的结果。最后，我们找到了此类DT-SIM过程的谱密度矩阵，并证明其关联的$T$维自相似马尔可夫过程完全由$\{R_{j}^H(1),R_{j}^H(0),j=0, 1,..., T-1\}$确定，其中$R_j^H(\tau)$是过程第$j$个和第$(j+\tau)$个观测值的协方差函数。