有限图的 Z-覆盖中的生成树与 Mahler 测度
数论
2025-02-11 v2 组合数学
摘要
利用 Artin-Ihara L-函数在 u=1 处的特殊值，我们为有限连通图的每个 Z-覆盖关联一个多项式，称之为 Ihara 多项式。我们证明此类覆盖的有限中间图的生成树个数可以用与 Ihara 多项式的一个因子相关的 Pierce-Lehmer 序列表示。这使我们能用该多项式的 Mahler 测度表达生成树个数的渐近增长。将底图特化为花束图或哑铃图时，我们重新得到了文献中关于循环图与 I-图（包括广义 Petersen 图）的已有结果。我们还用 Ihara 多项式的 p-进 Mahler 测度表达了有限中间图生成树个数的 p-进赋值。当应用于一个特定的 Z-覆盖时，我们的结果重新给出了 Lengyel 对 Fibonacci 数 p-进赋值的计算。
引用
@article{arxiv.2310.15619,
title = {Spanning trees in $\mathbb{Z}$-covers of a finite graph and Mahler measures},
author = {Riccardo Pengo and Daniel Vallières},
journal= {arXiv preprint arXiv:2310.15619},
year = {2025}
}
备注
Final version. To appear in the Journal of the Australian Mathematical Society