循环图中根森林的数目

本文发展一种新方法,为循环图 $G=C_{n}(s_1,s_2,\ldots,s_k)$ 与 $G=C_{2n}(s_1,s_2,\ldots,s_k,n)$ 中根生成森林的数目 $f_{G}(n)$ 给出显式公式。这些公式通过切比雪夫多项式表示。我们证明在两种情形下根生成森林的数目均可表示为 $f_{G}(n)=p\,a(n)^2$ 的形式,其中 $a(n)$ 为整数序列, $p$ 为依赖于 $n$ 奇偶性的给定自然数。最后,我们通过 associated Laurent 多项式 $P(z)=2k+1-\sum\limits_{i=1}^k(z^{s_i}+z^{-s_i})$ 的 Mahler 测度给出 $f_{G}(n)$ 的渐近公式。