关于双循环图生成树数目的研究

循环群 $\mathbb{Z}_n$ 上的双 Cayley 图被称为双循环图。设 $\Gamma=BC(\mathbb{Z}_n; R,T,S)$ 为一个双循环图，其中 $R=R^{-1}\subseteq \mathbb{Z}_n\setminus \{0\}$ 且 $T=T^{-1}\subseteq \mathbb{Z}_n\setminus \{0\}$ 且 $S\subseteq \mathbb{Z}_n$。在本文中，我们利用切比雪夫多项式，得到了双循环图 $\Gamma$ 生成树数目的闭式公式，研究了 $\Gamma$ 生成树数目的一些算术性质，并求出了当 $n$ 趋于无穷大时的渐近行为。此外，我们证明了 $F(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\tau(\Gamma)x^n$ 是一个具有整数系数的有理函数。