循环图中生成树的数目、其算术性质及渐近性

本文发展了一种新方法，用以给出无向循环图 $C_{n}(s_1,s_2,\ldots,s_k)$ 与 $C_{2n}(s_1,s_2,\ldots,s_k,n)$ 中生成树数目 $\tau(n)$ 的显式公式。此外，我们证明在两种情形下生成树的数目均可表示为 $\tau(n)=p \,n \,a(n)^2$ 的形式，其中 $a(n)$ 为整数序列，$p$ 为依赖于 $n$ 奇偶性的给定自然数。最后，我们通过相伴 Laurent 多项式 $L(z)=2k-\sum\limits_{i=1}^k(z^{s_i}+z^{-s_i})$ 的 Mahler 测度给出了 $\tau(n)$ 的渐近公式。