关于二面体群上 Cayley 图的复杂度

在本文中，我们研究了阶为 $2n$ 的二面体群 $\mathbb{D}_{n}=\langle a,b| a^2=1, b^n=1,(a\,b)^2=1\rangle$ 上一族无限 Cayley 图 $\mathcal{D}_{n}=Cay(\mathbb{D}_{n}, b^{\pm\beta_1},b^{\pm\beta_2},\ldots,b^{\pm\beta_s}, a b^{\gamma_1}, a b^{\gamma_2},\ldots, a b^{\gamma_t} )$ 的复杂度。我们用 Chebyshev 多项式给出了 $\mathcal{D}_{n}$ 中生成树数目 $\tau(n)$ 的闭式公式，研究了该函数的一些算术性质，并求出了当 $n\to\infty$ 时的渐近行为。此外，我们证明了生成函数 $F(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty\tau(n)x^n$ 是一个具有整系数的有理函数。