等谱周期三对角矩阵空间

周期三对角矩阵是在角落处额外有两个元素的三对角矩阵。我们研究了具有固定简单谱 $\lambda$ 的 Hermite 周期三对角 $n\times n$ 矩阵的空间 $X_{n,\lambda}$。利用离散化 Schrödinger 算子，我们描述了使 $X_{n,\lambda}$ 成为拓扑流形的所有的谱 $\lambda$。空间 $X_{n,\lambda}$ 带有紧 $(n-1)$ 维环面的自然有效作用。我们描述了其轨道空间的拓扑，特别地，证明了只要等谱空间是流形，其轨道空间就同胚于 $S^4\times T^{n-3}$。存在一个经典的动力系统：周期 Toda 格子流，作用于 $X_{n,\lambda}$。除了退化轨迹 $X_{n,\lambda}^0$ 之外，Toda 格子表现出 Liouville--Arnold 行为，从而空间 $X_{n,\lambda}\setminus X_{n,\lambda}^0$ 纤维化为环面。Toda 系统的退化轨迹用组合几何的语言进行了描述：其结构被编码在环面的特殊胞腔细分中，该环面由欧氏空间被置换多面体规则平铺而得到。我们应用交换代数和环面拓扑的方法描述了 $X_{n,\lambda}$ 的上同调与等变上同调模。