实 Grassmann 流形中等倾子空间的 $Sp(n)$-轨道

在实 $4n$ 维向量空间 $V$ 的 $k$ 维无向子空间实 Grassmann 流形 $G^\R(k,4n)$ 的 $Sp(n)$-轨道研究中，本文考虑等倾子空间的情形，我们将该集合记为 $\mathcal{IC}$。赋予 $V$ 一个四元数 Hermite 结构 $(\mathcal{Q},<,>)$，若对任意相容复结构 $A \in \mathcal{Q}$，对 $(U,AU)$ 的主角均相同（记为 $\theta^A$），则子空间 $U$ 称为等倾的。我们将证明，固定一个容许超复基 $(I,J,K)$，对任意这样的子空间 $U$ 可关联两组不变量，即三元组 $(\xi,\chi,\eta)$ 与二元组 $(\Gamma, \Delta)$，其中 $\Gamma$ 本身是 $(\xi,\chi,\eta)$ 的函数。我们证明等倾角 $(\theta^I,\theta^J,\theta^K)$ 连同 $(\xi,\chi,\eta, \Delta)$ 决定了其 $Sp(n)$-轨道。特别地，若 $\dim U= 8k+2$ 或 $\dim U= 8k+6$（$k \geq 0$），最后一组不变量退化为二元组 $(\xi= \pm 1,\chi= \pm 1)$。