关于 $\mathbb{C}^n$ 中幂和的 André-Oort 型一致有效结果

我们证明了 $\mathbb{C}^n$ 中一族超曲面的一个既一致又有效的 André–Oort 型结果。令 $K_*$ 表示在 Siegel–Tatuzawa 类数下界中出现的唯一例外虚二次域。我们证明，对于 $m, n \in \mathbb{Z}_{>0}$，存在一个有效常数 $c(m, n)>0$，具有以下性质：如果两两不同的奇异模 $x_1, \ldots, x_n$ 及其各自的判别式 $\Delta_1, \ldots, \Delta_n$ 满足：对于某些 $a_1, \ldots, a_n \in \mathbb{Q} \setminus \{0\}$，有 $a_1 x_1^m + \ldots + a_n x_n^m \in \mathbb{Q}$，并且 $\# \{ \Delta_i : \mathbb{Q}(\sqrt{\Delta_i}) = K_*\} \leq 1$，那么 $\max_i \lvert \Delta_i \rvert \leq c(m, n)$。此外，我们证明了当 $(m, n) = (1, 3)$ 时该结果的一个无条件且完全显式的版本，从而确定了所有满足存在某些 $a_1, a_2, a_3 \in \mathbb{Q} \setminus \{0\}$ 使得 $a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 \in \mathbb{Q}$ 的奇异模三元组 $(x_1, x_2, x_3)$。