Hensel 秩一赋值域上代数几何的一些结果

我们在特征为零的 Hensel 秩一赋值域 $K$ 上发展了 $K^{n}$ 中仿射代数簇的几何。提供了若干结果，包括：投影 $K^{n} \times \mathbb{P}^{m}(K) \to K^{n}$ 以及光滑 $K$-簇的 $K$-有理点的爆破是定义闭映射，爆破的下降性质，定义集的曲线选择，$K$-拓扑中局部闭子集上连续定义函数的 \L{}ojasiewicz 不等式的一般版本，以及连续遗传有理函数的延拓，这些在我们与 J. Koll\'ar 的合作论文中已针对实簇和 $p$-进簇建立。下降性质使得奇点消解和通过爆破变换为法交叉的应用方式与在局部紧基域上的情况非常相似。我们的方法依赖于 Pas 的量词消去和定义集的纤维收缩概念，后者是曲线选择的松弛版本。最后三节致力于此类赋值域上的 regulous 函数和集合理论。实基域 $\mathbb{R}$ 上的 Regulous 几何由 Fichou--Huisman--Mangolte--Monnier 发展。这里的主要结果是 Nullstellensatz 以及 Cartan 定理 A 和 B 的 regulous 版本。