一个闭性定理及其在 Hensel 赋值域上有理点几何中的应用

我们发展了任意 Hensel 赋值域 $K$ 上 $K^{n}$ 中代数子簇的几何理论。这是我们之前关于秩一赋值域上代数几何文章的延续。我们方法的核心再次是闭性定理，即投影 $K^{n} \times \mathbb{P}^{m}(K) \to K^{n}$ 是可定义闭映射。这使得奇点消解的应用方式与在局部紧基域上的应用非常相似。与之前一样，该定理的证明除其他外利用了一元可定义函数的局部行为和纤维收缩（曲线选择的松弛版本）。但现在，为了获得前者结果，我们首先考察由代数幂级数给出的函数。我们之前的所有结果都将在一般设定下建立：几种版本的曲线选择（通过奇点消解）和 \L{}ojasiewicz 不等式（通过下文指出的两种量词消解实例），连续遗传有理函数的延拓，以及 regulous 函数、集合和层的理论，包括 Nullstellensatz 和 Cartan 定理 A 与 B。本文应用的两个基本工具是 Pas 提出的 Hensel 赋值域量词消解，以及 Cluckers--Halupczok 提出的有序阿贝尔群相对量词消解（在带有虚辅助排序的多排序语言中）。闭性定理的其他新应用包括：可定义函数的分段连续性、$K^{n}$ 闭有界子集上可定义函数的 H"{o}lder 连续性、到 $K^{n}$ 闭可定义子集的可定义收缩的存在性，以及可定义的非阿基米德版 Tietze--Urysohn 延拓定理。在最近的一篇预印本中，我们建立了具有解析结构的 Hensel 赋值域上的闭性定理版本及其一些应用。