Ramanujan 失踪笔记中的 Maass 形式周期函数

Ramanujan 的失踪笔记包含大量美丽公式，其中一个可在其第 220 页找到。它涉及一个有趣函数，我们将其记为 $\mathcal{F}_1(x)$。在本文中，我们证明 $\mathcal{F}_1(x)$ 属于 period functions 的类别，因为它满足 Lewis 和 Zagier \cite{lz} 对 Maass 形式的 period 关系。因此，我们将 $\mathcal{F}_1(x)$ 称为 \emph{Ramanujan 周期函数}。此外，我们发现 Ramanujan 周期函数 $\mathcal{F}_1(x)$ 在 Hecke 算子作用于 period 空间下是 Hecke 本征函数。我们还在某个特定的 zeta 函数的 Kronecker 限制公式中自然地证明了它的出现，揭示了其与各个话题的联系。最后，我们将 $\mathcal{F}_1(x)$ 推广到包括参数 $s$ 的情形，将我们的工作与 Bettin 和 Conrey \cite{bc} 以及 Lewis 和 Zagier \cite{lz} 所发展的 period functions 更广泛的理论相连接。我们强调，Ramanujan 首次研究了这一函数，标志着 period functions 研究的开端。