环面上阿贝尔 Chern-Simons 理论中零模波函数的若干性质

在几何量子化中，环面上阿贝尔 Chern-Simons 理论的零模波函数可定义为 $\Psi [ a, \bar{a} ] = e^{- \frac{K(a, \bar{a})}{2}} f (a)$，其中 $K(a ,\bar{a} )$ 表示环面上零模变量 $a \in \mathbb{C}$ 的 K\"ahler 势。我们首先回顾，通过对 $\Psi [ a, \bar{a} ]$ 施加规范不变性（其中规范变换由 $a$ 的双周期平移诱导），全纯波函数 $f(a)$ 可用 Jacobi theta 函数描述。我们讨论 $f(a)$ 在量子理论上的特征为 ($i$) $a$-空间表示中的算符关系，以及 ($ii$) $\Psi [ a, \bar{a} ]$ 的内积，其中包含 $K(a ,\bar{a} )$ 选取的歧义。随后我们对由零模变量的模变换诱导的 $\Psi [ a , \bar{a} ]$ 规范不变性进行类似分析。我们观察到在 $|a|^2 = 1$ 条件下 $f(a)$ 表现为权为 2 的模形式，即 $\left. f \left( - \frac{1}{a} \right) = a^2 f(a) \right|_{|a|^2 = 1}$。利用 $f(a)$ 以 Jacobi theta 函数表示的具体形式，我们进一步研究 $f(a)$ 在何种精确意义上能或不能被解释为权为 2 的模形式；我们提取出使此种解释成为可能所需的条件。