关于一阶与二阶时依赖偏微分方程的一些数学与数值问题

普遍倾向于将相对论方程编写为时依赖偏微分方程的第一阶对称系统。然而，出于数值原因，使用类似于ADM方程所得到的二阶形式可能更有优势。不幸的是，ADM方程的类型尚未得到良好理解，因此我们将在下一节讨论Well-posedness（问题的良好定性）的概念。我们必须区分弱双曲性系统与强双曲性系统。即使添加次项，强双曲性系统也表现良好。相比之下，对于每一个弱双曲性系统，我们可以找到次项，使问题完全不可解。因此，对于弱双曲性系统，仅有一类有限的次项扰动不会破坏良好定性。识别这一类问题在尤其是非线性扰动时可能非常困难。在第3节中，我们将展示，围绕平坦空间展开且拉普朗斯函数和位移向量为常数的ADM方程仅为弱双曲性。然而，我们可以使用度规迹作为拉普朗斯函数，将方程转化为强二阶双曲性系统。使用简单模型，我们将在第4节表明，二阶方程的近似在精度上优于相应的第一阶方程的近似。此外，我们避免了那些沿特征方向传播的虚假波。最后一节我们讨论一些与约束保持相关的困难。