关于Gurland比值gamma函数不等式

本文研究经典的Gurland比值gamma函数，提出其修改形式 $\mathcal{G}^{\star}(x,y)$，其特别适合于解析展开。通过利用gamma函数的Weierstrass积表示，我们推导了 $\mathcal{G}^{\star}(x,y)$ 对数 logarithm 的有限展开式，涉及Hurwitz zeta函数。建立了余项的显式上界，为收敛性分析提供严格依据。直接结果包括Gurland比值新的双向不等式，以及与均值值定理相关的特定参数 $t(x,y)$ 的存在性。进一步提出了关于该参数的最优局部化的开放问题。这些结果扩展了Gurland、Gautschi和Merkle的经典工作，为gamma函数比值渐近行为提供了新见解。