求解准周期旋转率的巴比伦问题

若轨迹 $u_n := F^n(u_0), n = 0,1,2, \dots$ 位于某个 $d$ 维环面上且在其上稠密，并且环面 $\mathbb{T}$ 上存在坐标选择使得对所有 $\theta\in\mathbb{T}$ 和某个 $\rho\in\mathbb{T}$ 有 $F$ 形如 $F(\theta) = \theta + \rho\bmod1$，则该轨迹是准周期的。（对于 $d>1$，我们总是将 $\bmod1$ 解释为应用于每个坐标。）关于计算月球三个旋转率 $\rho$ 的文献源远流长。然而，即使在 $d=1$ 的情况下，尽管有处理特殊情形的文献，仍不存在仅给定轨迹 $u_n$ 计算 $\rho$ 的通用方法。本文提出从轨迹计算 $\rho$ 某些分量的嵌入延续法（Embedding Continuation Method）。该方法基于 Takens 嵌入定理和 Birkhoff 遍历定理。旋转率常被称为“旋转数”，二者均指圆的旋转速率。然而，$\rho$ 的坐标依赖于 $\mathbb{T}$ 的坐标选择。我们探究 $\rho$ 可能产生的各种可能的旋转率集合。通过 $d=1$ 和 $2$ 维的例子阐述我们的思想。