通过相对熵求解 McKean-Vlasov SDE

本文探讨了相对熵在证明 McKean-Vlasov SDE 与 SPDE 弱适定性方面的价值，推广了 Lacker（arxiv:2105.02983）引入的技术。在 SDE 情形下，当相互作用依赖于路径且仅假设具有线性增长时，我们证明了弱存在性与唯一性。同时，当相互作用具有 Krylov 的 $L_t^q-L_x^p$ 型奇异性且 $\frac{d}{p}+\frac{2}{q}<1$（其中 $d$ 为空间维数）时，我们恢复并推广了现有结果。我们将上述传统上互不相干的两类情形联系起来，形成了一种足够稳健的解理论，允许在奇异性存在下对次线性增长进行扰动，从而得到一类新的 McKean-Vlasov SDE 的适定性。我们的策略自然推广到分数布朗驱动噪声 $B^H$（对所有 $H\in\left(0,1\right)$）的情形，在 $H\in\left(0,\frac{1}{2}\right)$ 与 $H\in\left(\frac{1}{2},1\right)$ 各自情形下均获得新结果。在 SPDE 情形下，我们由空间一维随机热方程原型构造了具有有界可测系数的 McKean-Vlasov 型 SPDE，并对随机波方程及仅边界受白噪声作用的 SPDE 做了相同构造。此外，我们将 SDE 的一些定量混沌传播结果推广到了 SPDE 情形。