通过投影与重缩放求解锥系统

我们提出一种简单的投影与重缩放算法来求解可行性问题 $$\text{ find } x \in L \cap \Omega,$$ 其中 $L$ 和 $\Omega$ 分别是有限维向量空间 $V$ 中的线性子空间和对称锥的内部。该投影与重缩放算法受到先前关于感知机算法重缩放版本的工作以及 Chubanov 基于投影的线性可行性问题方法的启发。如同这些前身算法，我们算法的每次主迭代包含两步：一个{\em 基本过程}和一个{\em 重缩放}步骤。当 $L \cap \Omega \ne \emptyset$ 时，投影与重缩放算法在至多 $O(\log(1/\delta(L \cap \Omega)))$ 次迭代内找到点 $x \in L \cap \Omega$，其中 $\delta(L \cap \Omega) \in (0,1]$ 是 $L \cap \Omega$ 中最内部点的度量。当 $L \cap \Omega$ 包含对称锥 $\Omega$ 的中心时，达到理想值 $\delta(L\cap \Omega) = 1$。我们描述了基本过程的几种可能实现，包括感知机方案和光滑感知机方案。感知机方案需要 $O(r^4)$ 次感知机更新，光滑感知机方案需要 $O(r^2)$ 次光滑感知机更新，其中 $r$ 表示 $V$ 的 Jordan 代数秩。