一类 Dykstra 型投影算法的收敛速率分析

给定闭凸集 $C_i$，$i=1,\ldots,\ell$，以及若干合适维数的非零线性映射 $A_i$，$i = 1,\ldots,\ell$，多集分裂可行性问题旨在基于计算到 $C_i$ 上的投影以及乘以 $A_i$ 和 $A_i^T$ 来寻找 $\bigcap_{i=1}^\ell A_i^{-1}C_i$ 中的点。本文考虑相应的佳逼近问题，即计算到 $\bigcap_{i=1}^\ell A_i^{-1}C_i$ 上的投影；我们将此问题称为多集分裂可行性设定下的佳逼近问题（BA-MSF）。我们将经典的 Dykstra 投影算法（用于解决所有 $A_i = I$ 这一特殊情形下的 BA-MSF）加以改造，以求解一般 BA-MSF。我们的 Dykstra 型投影算法通过对拉格朗日对偶问题施加（邻近）坐标梯度下降导出，且每次迭代仅需计算到 $C_i$ 上的投影以及乘以 $A_i$ 和 $A_i^T$。在标准的相对内部条件以及对所需投影点的泛化性假设下，我们证明：当每个 $C_i$ 对某个 $\alpha\in (0,1]$ 是 $C^{1,\alpha}$-锥可约时，对偶目标在（通常无界的）对偶解集的邻域上满足具有可显式计算指数的 Kurdyka-Lojasiewicz 性质；此类集合涵盖了 $C^2$-锥可约集合类，后者包含多面体、二阶锥和半正定矩阵锥作为特例。由此，我们导出了由 Dykstra 型投影算法生成的序列的显式收敛速率（线性或次线性）。我们还构造了具体例子以说明我们某些假设的必要性。