整数集上伯努利随机游走的$\mathbb{Z}^+$逗留时间

设$(S_k)_{k\ge 1}$为整数线上经典伯努利随机游走，其跳跃参数为$p\in(0,1)$和$q=1-p$。该游走在非负整数集上直至固定时刻的逗留时间的概率分布是众所周知的，但其表达式并不简单。通过略微修改该逗留时间——采用Chung和Feller在《On fluctuations in coin-tossings》(Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 35 (1949), 605-608)中使用的对游走零点进行特定计数的方法——可以得到其概率分布的更简单表示。在上述文章中，仅考虑了对称情形($p=q=1/2$)。这是布朗运动著名的保罗·莱维反正弦定律的离散对应。