随机框架的Sobolev对偶与压缩感知测量的Sigma-Delta量化

压缩感知测量的量化通常由Candès、Romberg和Tao以及Donoho的鲁棒恢复结果所证明。这些结果保证，如果使用步长为$\delta$的均匀量化器对$k$-稀疏信号$x \in \R^N$的$m$个测量值$y = \Phi x$进行量化，其中$\Phi$满足受限等距性质，则通过$\ell_1$-最小化得到的近似恢复x^#与$x$的误差在$O(\delta)$内。最简单且通常假设的方法是对每个测量值独立量化。在本文中，我们证明，如果使用具有相同输出字母表的$r$阶$\Sigma\Delta$量化方案来量化$y$，则存在一种通过Sobolev对偶框架的替代恢复方法，该方法保证在$m \gtrsim_r k (\log N)^{1/(1-\alpha)}$时，近似误差减少因子$(m/k)^{(r-1/2)\alpha}$，其中$0 < \alpha < 1$。该结果在测量矩阵$\Phi$从高斯分布初始抽取时以高概率成立，并且对所有满足其支撑集上温和大小条件的$k$-稀疏信号$x$一致成立。